Calculando Pi

O número Pi (π) há muito tempo encanta não apenas matemáticos, e há uma procura constante por métodos otimizados para obtê-lo com maior precisão. Em 1995, David Harold Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de π, uma soma infinita (frequentemente chamada fórmula BBP):

Aqui um exemplo de implementação em Powershell. A fórmula converge rapidamente, com poucas iterações.

$PI = 0
For ([long]$k=0;$k -lt 12;$k++) {
   $PI += 1/[Math]::Pow(16,$k) * ( 4/(8*$k+1) - (2/(8*$k+4)) - 1/(8*$k+5) - 1/(8*$k+6) )
   Write-Host "Para k=$k, PI é ~" $PI 
}

Para k=0, PI é ~ 3,13333333333333
Para k=1, PI é ~ 3,14142246642247
Para k=2, PI é ~ 3,14158739034658
Para k=3, PI é ~ 3,14159245756744
Para k=4, PI é ~ 3,14159264546034
Para k=5, PI é ~ 3,14159265322809
Para k=6, PI é ~ 3,14159265357288
Para k=7, PI é ~ 3,14159265358897
Para k=8, PI é ~ 3,14159265358975
Para k=9, PI é ~ 3,14159265358979
Para k=10, PI é ~ 3,14159265358979
Para k=11, PI é ~ 3,14159265358979

Project Euler 16

O desafio no problema 16 de está relacionado a estouro de buffer, já que 2 elevado à potência 1000 gera um número muito grande.

Uma alternativa seria calcular as multiplicações tal e qual fazemos manualmente, armazenando os dígitos do resultado em um array. Assim, iremos efetuar 1000 multiplicações de cada resultado intermediário por 2. Ao final, teremos o número correspondente ao resultado de 2^1000 armazenado em um array, dígito a dígito, porém ele estará invertido.

Para o propósito do problema, não faz diferença ele estar invertido, já que estamos interessado na soma dos dígitos.

## Número de dígitos de 2^1000 pode ser calculado com
## Ndig = 1 + Log10(2^1000)
$tamanho_array = [Math]::Truncate(1 + 1000 * [Math]::Log10(2))
## Cria-se um array para armazenar os dígitos
$digito = New-Object int[] $tamanho_array

[int]$ordem = 0
$digito[0] = 1

## O número que será armazenado no array $digito
## será o resultado das multiplicações por 2 (1000 vezes)
## Cada digito é calculado separadamente, na forma
## como se faz a multiplicação manualmente
For ($i=0; $i -lt 1000; $i++) {
    [int]$pracima = 0
    For ($j = 0; $j -le $ordem; $j++) {
        $produto = 2 * $digito[$j] + $pracima
        $digito[$j] = $produto % 10
        If (($produto / 10) -lt 1) { $pracima = 0 }
        Else { $pracima = 1}
        If (($j -eq $ordem) -and ($pracima -gt 0)) {
            $ordem++
        }
    }
}

## Ao final o número armazenado no array $digito
## está invertido, mas para o propósito de
## somar os dígitos não importa
[int]$soma_digitos = 0

For ($i=0; $i -lt $digito.Length; $i++) {
    $soma_digitos += $digito[$i]
}

Write-Host "A soma dos dígitos de 2^1000 é:" $soma_digitos

A soma dos dígitos de 2^1000 é: 1366

Project Euler 11

Descobrir qual é o maior produto de 4 números, em todas as direções, na planilha abaixo.

[String] $Dados = "08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08 49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00 81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65 52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91 22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80 24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50 32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70 67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21 24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72 21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95 78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92 16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57 86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58 19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40 04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66 88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69 04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36 20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16 20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54 01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48"
$M = $Dados.Split(" ")
$max = 0
$row = 0
$rowCur = 0
$Num = (0,0,0,0)

For ($i = 0; $i -lt $M.Count - 3; $i++) {
    ## Horizontal
    If ($rowCur -lt 17) {
        $produto = [Int]$M[$i] * [Int]$M[$i+1] * [Int]$M[$i+2] * [Int]$M[$i+3]
        If ($produto -gt $max) { 
            $max = $produto
            $Num[0] = $M[$i]
            $Num[1] = $M[$i+1]
            $Num[2] = $M[$i+2]
            $Num[3] = $M[$i+3]
        }
    }
    ## Vertical
    If ($row -lt 17) {
        $produto = [Int]$M[$i] * [Int]$M[$i+20] * [Int]$M[$i+40] * [Int]$M[$i+60]
        If ($produto -gt $max) { 
            $max = $produto
            $Num[0] = $M[$i]
            $Num[1] = $M[$i+20]
            $Num[2] = $M[$i+40]
            $Num[3] = $M[$i+60]
        }
    }
    ## Diagonal
    If (($rowCur -lt 17) -and ($row -lt 17)) {
        $produto = [Int]$M[$i] * [Int]$M[$i+21] * [Int]$M[$i+42] * [Int]$M[$i+63]
        If ($produto -gt $max) { 
            $max = $produto
            $Num[0] = $M[$i]
            $Num[1] = $M[$i+21]
            $Num[2] = $M[$i+42]
            $Num[3] = $M[$i+63]
        }
    }
    ## Diagonal
    If (($rowCur -gt 2) -and ($row -lt 17)) {
        $produto = [Int]$M[$i] * [Int]$M[$i+19] * [Int]$M[$i+38] * [Int]$M[$i+57]
        If ($produto -gt $max) { 
            $max = $produto
            $Num[0] = $M[$i]
            $Num[1] = $M[$i+19]
            $Num[2] = $M[$i+38]
            $Num[3] = $M[$i+57]
        }
    }
    ## Diagonal
    If (($rowCur -lt 17) -and ($row -gt 2)) {
        $produto = [Int]$M[$i] * [Int]$M[$i-19] * [Int]$M[$i-38] * [Int]$M[$i-57]
        If ($produto -gt $max) { 
            $max = $produto
            $Num[0] = $M[$i]
            $Num[1] = $M[$i-19]
            $Num[2] = $M[$i-38]
            $Num[3] = $M[$i-57]
        }
    }
    If ($rowCur -eq 19) {
        $rowCur = 0;
        $row++
    }
    Else { $rowCur++}
}

Clear-Host
Write-Host "Maior Produto: $max"
Write-Host "Números: " $Num[0] $Num[1] $Num[2] $Num[3] 

Maior Produto: 70600674
Números:  89 94 97 87