Project Euler 16

O desafio no problema 16 de está relacionado a estouro de buffer, já que 2 elevado à potência 1000 gera um número muito grande.

Uma alternativa seria calcular as multiplicações tal e qual fazemos manualmente, armazenando os dígitos do resultado em um array. Assim, iremos efetuar 1000 multiplicações de cada resultado intermediário por 2. Ao final, teremos o número correspondente ao resultado de 2^1000 armazenado em um array, dígito a dígito, porém ele estará invertido.

Para o propósito do problema, não faz diferença ele estar invertido, já que estamos interessado na soma dos dígitos.

## Número de dígitos de 2^1000 pode ser calculado com
## Ndig = 1 + Log10(2^1000)
$tamanho_array = [Math]::Truncate(1 + 1000 * [Math]::Log10(2))
## Cria-se um array para armazenar os dígitos
$digito = New-Object int[] $tamanho_array

[int]$ordem = 0
$digito[0] = 1

## O número que será armazenado no array $digito
## será o resultado das multiplicações por 2 (1000 vezes)
## Cada digito é calculado separadamente, na forma
## como se faz a multiplicação manualmente
For ($i=0; $i -lt 1000; $i++) {
    [int]$pracima = 0
    For ($j = 0; $j -le $ordem; $j++) {
        $produto = 2 * $digito[$j] + $pracima
        $digito[$j] = $produto % 10
        If (($produto / 10) -lt 1) { $pracima = 0 }
        Else { $pracima = 1}
        If (($j -eq $ordem) -and ($pracima -gt 0)) {
            $ordem++
        }
    }
}

## Ao final o número armazenado no array $digito
## está invertido, mas para o propósito de
## somar os dígitos não importa
[int]$soma_digitos = 0

For ($i=0; $i -lt $digito.Length; $i++) {
    $soma_digitos += $digito[$i]
}

Write-Host "A soma dos dígitos de 2^1000 é:" $soma_digitos

A soma dos dígitos de 2^1000 é: 1366

Project Euler - 8

Esta é uma implementação para o problema 8 do Project Euler: Encontrar em um número de 1000 dígitos, o maior número da multiplicação de 13 dígitos adjacentes.

Clear-Host

[String]$milDig = "7316717653133062491922511967442657474235534919493496983520312774506326239578318016984801869478851843858615607891129494954595017379583319528532088055111254069874715852386305071569329096329522744304355766896648950445244523161731856403098711121722383113622298934233803081353362766142828064444866452387493035890729629049156044077239071381051585930796086670172427121883998797908792274921901699720888093776657273330010533678812202354218097512545405947522435258490771167055601360483958644670632441572215539753697817977846174064955149290862569321978468622482839722413756570560574902614079729686524145351004748216637048440319989000889524345065854122758866688116427171479924442928230863465674813919123162824586178664583591245665294765456828489128831426076900422421902267105562632111110937054421750694165896040807198403850962455444362981230987879927244284909188845801561660979191338754992005240636899125607176060588611646710940507754100225698315520005593572972571636269561882670428252483600823257530420752963450"
[Long]$Multi13 = 0
[Long]$curMulti = 0
$dig = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
$digSalvo = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

For ([Int32]$i=0; $i -lt 988; $i++) {
    For ($d=0;$d -lt 13;$d++) {
        $dig[$d] = [convert]::ToInt32($mildig[$i+$d],10)
    }    
    $curMulti = $dig[0]*$dig[1]*$dig[2]*$dig[3]*$dig[4]*$dig[5]*`
        $dig[6]*$dig[7]*$dig[8]*$dig[9]*$dig[10]*$dig[11]*$dig[12]

    If ($curMulti -gt $Multi13) { 
        $Multi13 = $curMulti
        For ([Int32]$d=0;$d -lt 13;$d++) {
            $digSalvo[$d] = $dig[$d]
        }
    }
}

Write-Host "Dígitos adjacentes com maior produto são:"
Write-Host $digSalvo[0] "x" $digSalvo[1] "x" $digSalvo[2] "x" $digSalvo[3] "x"`
           $digSalvo[4] "x" $digSalvo[5] "x" $digSalvo[6] "x" $digSalvo[7] "x"`
           $digSalvo[8] "x" $digSalvo[9] "x" $digSalvo[10] "x" $digSalvo[11] "x"`
           $digSalvo[12] "=" $Multi13

Os 13 dígitos adjacentes com maior produto são:
5 x 5 x 7 x 6 x 6 x 8 x 9 x 6 x 6 x 4 x 8 x 9 x 5 = 23514624000

Problema do Relógio Digital

Supondo um relógio digital de 24 horas, quantas vezes um determinado dígito aparece durante 1 dia?

Esse interessante problema li em NRICH enriching mathematics.
Lá o problema é apresentado fazendo a pergunta sobre o dígito 5.
Se bem observarmos, o dígito 5 aparece 16 vezes em cada hora normal.

00:05 - 1
00:15 - 2
00:25 - 3
00:35 - 4
00:45 - 5
00:50 - 6
00:51 - 7
00:52 - 8
00:53 - 9
00:54 - 10
00:55 - 11
00:55 - 12
00:56 - 13
00:57 - 14
00:58 - 15
00:59 - 16

E aparece 76 vezes às 05:mm e às 15:mm, pois nesses horários há repetição em 05:05, 05:15,... e também em 05:55.
Assim, o cálculo é feito somando-se:

• 22 horas em que o 5 aparece 16 vezes
MAIS
• 2 horas em que o 5 aparece 76 vezes
Ou seja, (22x16) + (2x76) = 352 + 152 = 504

O dígito 5 aparece 504 vezes em um relógio digital de 24 horas durante 1 dia.

Então, tive a ideia de escrever um programinha em Powershell que calcule quantas vezes cada dígito 0,1,2,3,... aparece no relógio digital durante 1 dia e ao final exiba um relatório.

Function QuantoApareceEm24Horas([Int32] $digito) {
    [Int32] $dig1, $dig2, $dig3, $dig4, $contador=0

    ## Primeiro Horários 0h:mm e 1h:mm
    For ($dig1=0; $dig1 -le 1; $dig1++) { ## 0,1
        ########## $dig2 ############
        For ($dig2=0; $dig2 -le 9; $dig2++) { ## 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
            ########## $dig3 ############
            For ($dig3=0; $dig3 -lt 6; $dig3++) { ## 0,1,2,3,4,5
                ########## $dig4 ############
                For ($dig4=0; $dig4 -le 9; $dig4++) { ## 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
                    If ($dig1 -eq $digito) { 
                        $contador++
                        Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                    }
                    If ($dig2 -eq $digito) { 
                        $contador++
                        Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                    }
                    If ($dig3 -eq $digito) {
                        $contador++ 
                        Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                    }
                    If ($dig4 -eq $digito) {
                        $contador++ 
                        Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                    }
                } ##$dig4
            } ## dig3
        } ## dig2
    } ## dig1


    ## Horários 20, 21, 22, 23
    $dig1=2
    For ($dig2=0; $dig2 -le 3; $dig2++) { ## 0,1,2,3
        For ($dig3=0; $dig3 -le 5; $dig3++) { ## 0,1,2,3,4,5
            For ($dig4=0; $dig4 -le 9; $dig4++) { ## 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
                If ($dig1 -eq $digito) {
                    $contador++ 
                    Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                }
                If ($dig2 -eq $digito) {
                    $contador++ 
                    Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                }
                If ($dig3 -eq $digito) {
                    $contador++ 
                    Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                }
                If ($dig4 -eq $digito) {
                    $contador++ 
                    Write-Host $dig1$dig2":"$dig3$dig4" - "$contador
                }
            } ## $dig4
        } ## $dig3
    } ## $dig2

    Return $contador
} ##Function

Clear-Host
$Numeros=@()
[Int32] $i

For ($i=0; $i -le 9; $i++) {
    Write-Host -ForegroundColor Yellow "######################################"
    Write-Host -ForegroundColor Yellow "Calculando quantas vezes o dígito"$i
    Write-Host -ForegroundColor Yellow "aparece em relógio digital em 1 dia"
    Write-Host -ForegroundColor Yellow "######################################"
    $Numeros += QuantoApareceEm24Horas $i
}
Write-Host -ForegroundColor Green "######################################"
Write-Host -ForegroundColor Green "Relatório de Execução:"
For ($i=0; $i -le 9; $i++) {
    Write-Host -ForegroundColor Cyan "O dígito" $i "aparece" $Numeros[$i]"vezes em 24 horas."
}